1- Immagina un piano verticale alfa, ad esso è appoggiata una sfera di raggio "r"; il punto di tangenza lo chiamo M; il punto diametralmente opposto lo chiamo N.
2 - Vorrei "sviluppare" la sfera su quel piano alfa in modo che i cerchi massimi passanti per i punti M ed N rimangano della stessa lunghezza: praticamente "apro" la sfera in N, e porto l'estremo N1, N2, ..., Nn, dei vari cerchi massimi sul piano alfa, facendoli scorrere con srotolamento, ciascuno sul piano cui appartengono tali cerchi massimi, ma senza stiracchiare tali cerchi massimi né accorciarli (per essere esplicito).3 - E' chiaro che lo spazio compreso tra due cerchi massimi, nell'adagiarsi sul piano, subirà una deformazione di stiramento; al limite, ciò che era il punto N (senza dimensione, come tutti i punti) diventerà un cerchio limite di un certo raggio. Se la sfera ha raggio "r", un cerchio massimo ha circonferenza pari a 6,28*r, e l'adagiamento della superficie della sfera sul piano avverrà in un cerchio di diametro 6,28*r.
4 - Detto questo, a me serve poter rappresentare un insieme di cerchi massimi sia disposti con il diametro su MN (che è ortogonale al piano pigreco, e quindi diventano dei diametri per il cerchio che ne rappresenta il loro sviluppo), sia disposti con il diametro in qualsiasi altro modo.
5 - Quest'ultima disposizione da luogo a delle curve chiuse trascendenti, vedi fotocopia (2), che tendono tanto più alla forma del cerchio quanto più il piano che contiene il cerchio massimo tende ad assumere una posizione parallela al piano alfa (vedi curva a trattini lunghi nella fotocopia). Ma, al contrario, tanto più il piano del cerchio massimo in questione tende a discostarsi da tale parallelismo (ruotando intorno ad un diametro della sfera disposto parallelamente al piano alfa) e, quindi, ad assumere posizione ortogonale al piano alfa, tanto più la forma si discosta da quella del cerchio, assumendo la forma della curva disegnata a puntini nella fotocopia.6 - La porzione di queste curve trascendenti contenuta all'interno del cerchio, detto nella fotocopia trasformata equatoriale, è molto approssimabile ad un arco di cerchio, per cui non occorre fare calcoli trigonometrici, ma solo calcolare il raggio con le note formule, o anche per via grafica, essendo simmetriche (cerchio per 3 punti).
7 - Al contrario, la porzione di queste curve trascendenti che sta tra la trasformata equatoriale e la trasformata polare si discosta in modo significativo dalla forma del cerchio (e non è neanche una arco di ellisse). Conclusione: bisogna disegnare l'intera curva punto per punto.
8 - Se potessi trovare un algoritmo da impostare con Excell allora potrei disegnare un certo insieme di queste curve (fitto abbastanza per l'applicazione che mi occorre, e che è la prospettiva curvilinea) e, con alcuni accorgimenti, potrei fare la prospettiva ad occhio di pesce, il cui aspetto si discosta molto dalla visione prospettica rinascimentale (insegnata tutt'ora nelle scuole), e che è quanto aveva intravisto Leonardo in alcuni disegni. 9 - Tale metodo sembra più rispondente alla visione che si proietta sulla retina dell'occhio umano che è assimilabile ad una sfera. Il centro di proiezione (punto di vista prospettico) è situato nel centro della sfera. Se ci limitassimo a proiettare le forme geometriche su tale sfera tutto finirebbe li, trattandosi di dover trovare l'intersezione con la sfera di un piano da costruire passante per il centro di vista prospettico e la retta esterna contenente il segmento che ci interessa, e che potrebbe essere, ad esempio, lo spigolo di un poliedro: tale proiezione sulla sfera sarebbe un arco di cerchio massimo.
10 - La difficoltà è di spianare poi la superficie di tale sfera su un foglio da disegno che, notoriamente, è piano: da qui il ricorso alla trigonometria, a meno che, e lo dico come sfida, qualche ingegnere non volesse brevettare fogli da disegno di forma sferica, per studenti dotati di zainetto di forma sferica, o quasi, accompagnati a scuola dalla mamma in un macchina che abbia un sedile con apposito incavo quasi-sferico.
Non so se ho spiegato la cosa in termini comprensibili, ma dal punto di vista intuitivo è abbastanza semplice. La complicazione sorge quando si voglia una rappresentazione esatta, come in questo caso dove serve la trigonometria che - haimé - ho abbandonato con gli ultimi calcoli statici di fabbricati nella seconda metà degli anni '90, con l'avvento dei software dedicati che, in precedenza, mi facevo da solo su fogli Excell.
E' vero che se ci si accontentasse di rappresentare la realtà geometrica limitandoci alla porzione proiettata sulla semisfera con centro nel punto di vista prospettico, tutto si semplificherebbe (trasformata equatoriale), come ho già fatto nella figura di questo post al quale rimando per meglio comprendere l'argomento.
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(1) Il termine "Postel", è riferito a Guillaume Postel (1510-1581)? Sul web non sono riuscito a capirlo. Chi sa darmi indicazioni? (Era un viaggiatore straordinario, ma non ho trovato suoi lavori sulla cartografia).(2) Il disegno è estratto da: Stefano Filippi, Rappresentazioni curvilinee, il problema della curvatura retinica nella percezione, Appendice 2, pag. XII. Sta in: Roberto De Rubertis, Geometria descrittiva, Edizioni Kappa, Roma 1979.
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Sono arrivati altri contributi analitici per spianare una sfera, anche oltre il piano equatoriale. Sono dell'Ing. Bruna Baiocco (15-05-2012) e del Prof. Giorgio Ottaviani (15-05-2013).
